两个矩阵相乘秩的变化

当两个矩阵相乘时，结果矩阵的秩可能变小或保持不变。以下是相关定理和性质的解释：

1. 秩的性质 ：

对于任意矩阵 \\（ A \\） 和 \\（ B \\），有不等式 \\（ r（AB） \\leq \\min\\{r（A）, r（B）\\} \\）。

如果 \\（ AB = 0 \\），则 \\（ r（A） + r（B） \\leq n \\），其中 \\（ n \\） 是矩阵 \\（ A \\） 的列数或矩阵 \\（ B \\） 的行数。

2. 矩阵相乘的秩 ：

矩阵相乘可以视为一种映射，如果矩阵 \\（ A \\） 的列数小于矩阵 \\（ B \\） 的行数，则结果矩阵的秩最多为矩阵 \\（ A \\） 的列数，即 \\（ r（AB） \\leq r（A） \\leq \\min\\{m, n\\} \\）。

如果矩阵 \\（ A \\） 的列数等于矩阵 \\（ B \\） 的行数，则结果矩阵的秩可能等于 \\（ A \\） 的秩或 \\（ B \\） 的秩，即 \\（ r（AB） \\leq r（A） \\leq m \\） 和 \\（ r（AB） \\leq r（B） \\leq n \\）。

3. 特殊情况 ：

对于一个 \\（ m \\times n \\） 矩阵 \\（ A \\） 和一个 \\（ n \\times p \\） 矩阵 \\（ B \\），如果 \\（ m > n \\），则结果矩阵 \\（ AB \\） 是一个 \\（ m \\times p \\） 矩阵，其秩最多为 \\（ n \\）。

对于一个 \\（ n \\times n \\） 矩阵 \\（ A \\） 和一个 \\（ n \\times n \\） 矩阵 \\（ B \\），如果 \\（ A \\） 和 \\（ B \\） 都可逆，则 \\（ AB \\） 的秩等于 \\（ n \\）。

4. 初等变换 ：

对矩阵进行初等行变换或列变换不会改变其秩。

5. 伴随矩阵 ：

对于一个 \\（ n \\times n \\） 矩阵 \\（ A \\），如果 \\（ r（A） = n \\），则 \\（ A \\） 是满秩的，其伴随矩阵 \\（ A^* \\） 的秩也为 \\（ n \\）。

6. 零空间 ：

如果 \\（ AB = 0 \\），则 \\（ A \\） 的零空间包含 \\（ B \\） 的列向量，这意味着 \\（ B \\） 的列向量可以被 \\（ A \\） 的零空间线性表示。

以上性质和定理可以帮助理解矩阵相乘时秩的变化情况。

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